Оглавление:
Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математика (Май 2024)
Разработка и обобщение
Эйлер и бесконечные ряды
Техники дифференциации, интеграции и бесконечных процессов 17-го века обладали огромной силой и размахом, и их использование расширилось в следующем столетии. Результата одного Эйлера было достаточно, чтобы затмить объединенные открытия Ньютона, Лейбница и Бернулли. Большая часть его работ была посвящена их разработке механики небесных тел, жидкостей и гибких и упругих сред. Например, Эйлер изучил сложную проблему описания движения трех масс при взаимном гравитационном притяжении (теперь известную как проблема трех тел). Применительно к системе Солнце-Луна-Земля работа Эйлера значительно повысила точность лунных таблиц, используемых в навигации, за что Британский совет по долготе присудил ему денежный приз. Он также применил анализ к изгибу тонкой упругой балки и в дизайне парусов.
Эйлер также взял анализ в новых направлениях. В 1734 году он решил проблему в бесконечных рядов, которые побежденных своих предшественников: суммирование серии 1 / 1 2 + 1 / 2 2 + 1 / 3 2 + 1 / 4 2 + ⋯. Эйлера нашел сумму, чтобы быть π 2 / 6 на смелом шаг сравнения серии с суммой корней следующего бесконечного полиномиального уравнения (полученное из степенного ряда для функции синуса): sin (Квадратный корень of√x) / Квадратный корень из √x = 1 - x / 3! + Х +2 / 5! - х 3 / 7! + ⋯ = 0. Эйлер позже смог обобщить этот результат, чтобы найти значения функции
для всех четных натуральных чисел s.
Функция ζ (s), позже известная как дзета-функция Римана, является концепцией, которая действительно принадлежит 19-му веку. Эйлер мельком увидел будущее, когда обнаружил фундаментальное свойство ζ (s) в «Введении к анализу бесконечного» (1748): сумма по целым числам 1, 2, 3, 4,
равно произведению над простыми числами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
а именно
Эта поразительная формула была первым указанием на то, что анализ - теория непрерывного - может сказать что-то о дискретных и таинственных простых числах. Функция дзета раскрывает многие секреты простых чисел, например, что их бесконечно много. Чтобы понять почему, предположим, что было только конечное число простых чисел. Тогда произведение для ζ (s) будет иметь только конечное число членов и, следовательно, будет иметь конечное значение для s = 1. Но для s = 1 сумма слева будет гармоническим рядом, который Оресме показал бесконечным, таким образом создавая противоречие.
Конечно, уже было известно, что было бесконечно много простых чисел - это известная теорема Евклида - но доказательство Эйлера дало более глубокое понимание результата. К концу 20-го века простые числа стали ключом к безопасности большинства электронных транзакций, а конфиденциальная информация была «скрыта» в процессе умножения больших простых чисел (см. Криптологию). Это требует бесконечного количества простых чисел, чтобы избежать повторения простых чисел, используемых в других транзакциях, так что бесконечность простых чисел стала одной из основ электронной коммерции.
Комплексные экспоненты
В качестве последнего примера работы Эйлера рассмотрим его знаменитую формулу для комплексных экспонент e iθ = cos (θ) + i sin (θ), где i = квадратный корень из − − 1. Как и его формула для ζ (2), которая удивительным образом связывает π с квадратами натуральных чисел, формула для e iθ связывает все самые известные числа - e, i и π - чудесным образом. Подставляя π вместо θ в формуле, получаем e iπ = −1, что, безусловно, является самой замечательной формулой в математике.
Формула для e iθ появилась во введении Эйлера, где он доказал ее, сравнив ряд Тейлора для двух сторон. Эта формула на самом деле является переработкой других формул благодаря современникам Ньютона в Англии, Роджеру Котсу и Аврааму де Моивру, и на Эйлера, возможно, также оказали влияние дискуссии с его наставником Иоганном Бернулли, но она окончательно показывает, как функции синуса и косинуса просто части экспоненциальной функции. Это тоже был проблеск будущего, где многие пары реальных функций будут объединены в одну «сложную» функцию. Прежде чем объяснить, что это значит, нужно еще кое-что сказать об эволюции концепции функции в 18 веке.
функции
Исчисление познакомило математиков со многими новыми функциями, предоставив новые способы их определения, например, с помощью бесконечных рядов и интегралов. В более общем смысле, функции возникали как решения обыкновенных дифференциальных уравнений (включая функцию одной переменной и ее производных) и уравнений в частных производных (включая функцию нескольких переменных и производных по этим переменным). Многие физические величины зависят от более чем одной переменной, поэтому уравнения математической физики обычно включают частные производные.
В 18 веке наиболее плодотворным уравнением такого рода было уравнение вибрирующей струны, выведенное французским математиком Жаном Ле Ронд д'Аламбертом в 1747 году и относящееся к скоростям изменения величин, возникающих при вибрации тугой струны скрипки (см. Музыкальный происхождение). Это привело к удивительному заключению, что произвольная непрерывная функция f (x) может быть выражена между 0 и 2π как сумма функций синуса и косинуса в ряду (позже названном рядом Фурье) вида y = f (x) = а 0 /2 + (A 1 Cos (πx) + Ь 1 Sin (πx)) + (а 2 соз (2πx) + Ь 2 Sin (2πx)) + ⋯.
Но что такое произвольная непрерывная функция, и всегда ли она корректно выражается таким рядом? Действительно, такой ряд обязательно представляет непрерывную функцию вообще? Французский математик Жозеф Фурье обратился к этим вопросам в своей «Аналитической теории тепла» (1822). Последующие исследования принесли много сюрпризов, что привело не только к лучшему пониманию непрерывных функций, но и разрывных функций, которые действительно встречаются в виде рядов Фурье. Это, в свою очередь, привело к важным обобщениям концепции интеграла, предназначенной для интегрирования весьма разрывных функций - интеграла Римана 1854 года и интеграла Лебега 1902 года (см. Интеграл Римана и теория меры).
Поток жидкости
Эволюция в другом направлении началась, когда французские математики Алексис Клеро в 1740 году и Даламбер в 1752 году открыли уравнения для потока жидкости. Их уравнения определяют компоненты скорости u и v в точке (x, y) в устойчивом двумерном потоке. Подобно вибрирующей струне, движение жидкости довольно произвольно, хотя и не полностью - Даламбер с удивлением заметил, что комбинация компонентов скорости, u + iv, была дифференцируемой функцией от x + iy. Подобно Эйлеру, он обнаружил функцию комплексной переменной с u и v ее действительной и мнимой частями соответственно.
Это свойство u + iv было вновь открыто во Франции Августином-Луи Коши в 1827 году и в Германии Бернхардом Риманом в 1851 году. К этому времени комплексные числа стали принятой частью математики, подчиняясь тем же алгебраическим правилам, что и действительные числа, и имели четкая геометрическая интерпретация как точки на плоскости. Любая комплексная функция f (z) может быть записана в виде f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y), где u и v - вещественные функции от x и у. Комплексные дифференцируемые функции - это те, для которых предел f ′ (z) функции (f (z + h) - f (z)) / h существует при стремлении h к нулю. Однако, в отличие от действительных чисел, которые могут приближаться к нулю только вдоль действительной линии, комплексные числа находятся на плоскости, а бесконечное число путей ведет к нулю. Оказалось, что для того, чтобы дать тот же предел f ′ (z), когда h стремится к нулю с любого направления, u и v должны удовлетворять ограничениям, налагаемым уравнениями Клеро и Даламбера (см. Волновое уравнение Даламбера),
Способ визуализации дифференцируемости состоит в том, чтобы интерпретировать функцию f как отображение из одной плоскости в другую. Для существования f ′ (z) функция f должна быть «сохраняющей подобие в малом» или конформной, что означает, что бесконечно малые области точно отображаются в области одинаковой формы, хотя, возможно, повернуты и увеличены каким-либо фактором. Это делает дифференцируемые сложные функции полезными в реальных задачах отображения, и они использовались для этой цели еще до того, как Коши и Риман признали их теоретическую важность.
Дифференцируемость является гораздо более значимым свойством для сложных функций, чем для реальных функций. Коши обнаружил, что если существует первая производная функции, то существуют все ее производные, и поэтому она может быть представлена степенным рядом в z - ее рядом Тейлора. Такая функция называется аналитической. В отличие от реальных дифференцируемых функций, которые столь же «гибки», как и строки, сложные дифференцируемые функции являются «жесткими» в том смысле, что любая область функции определяет всю функцию. Это связано с тем, что значения функции в любой области, независимо от того, насколько они малы, определяют все ее производные и, следовательно, определяют ее степенной ряд. Таким образом, стало возможным изучать аналитические функции через степенные ряды, программу, предпринятую итальянским французским математиком Жозефом-Луи Лагранжем для реальных функций в 18-м веке, но впервые успешно реализованную немецким математиком Карлом Вейерштрассом в 19-м веке, после соответствующий предмет сложных аналитических функций.
