Математика в средней группе Пташкина Г Н (Май 2024)
Под математикой подразумевается величина, которая имеет значение, промежуточное между значениями крайних членов некоторого множества. Существует несколько видов среднего, и метод расчета среднего зависит от отношений, известных или предполагаемых для управления другими членами. Среднее арифметическое, обозначаемое x, из набора n чисел x 1, x 2,
x n определяется как сумма чисел, деленная на n:
Среднее арифметическое (обычно синонимичное со средним) представляет собой точку, относительно которой балансируются числа. Например, если единичные массы размещены на линии в точках с координатами x 1, x 2,
, x n, то среднее арифметическое - это координата центра тяжести системы. В статистике среднее арифметическое значение обычно используется в качестве единственного значения, типичного для набора данных. Для системы частиц, имеющих неравные массы, центр тяжести определяется более общим средним, средневзвешенным арифметическим. Если каждому числу (x) присвоен соответствующий положительный вес (w), средневзвешенное арифметическое значение определяется как сумма их произведений (wx), деленная на сумму их весов. В этом случае, Взвешенное арифметическое среднее также используется в статистическом анализе сгруппированных данных: каждое число x i является средней точкой интервала, а каждое соответствующее значение w i является числом точек данных в этом интервале.
Для данного набора данных могут быть определены многие возможные средства в зависимости от того, какие особенности данных представляют интерес. Например, предположим, что даны пять квадратов со сторонами 1, 1, 2, 5 и 7 см. Их средняя площадь составляет (1 2 + 1 2 + 2 2 + 5 2 + 7 2) / 5 или 16 кв. См, площадь квадрата со стороны 4 см. Число 4 является квадратичной средней (или корень средний квадрат) из чисел 1, 1, 2, 5, и 7 и отличается от их среднего арифметического, что на 3 1 / 5. В общем, квадратичное среднее из n чисел х 1, х 2,
, x n - это квадратный корень из среднего арифметического их квадратов. Среднее арифметическое не дает указаний на то, насколько широко данные распределены или рассеяны относительно среднего значения. Меры дисперсии обеспечиваются арифметическим и квадратичным средним из n разностей x 1 - x, x 2 - x,
, х н - х. Среднее квадратическое значение дает «стандартное отклонение» x 1, x 2,
, х н.
Средние арифметические и квадратичные значения являются частными случаями p = 1 и p = 2 среднего значения p-степени M p, определяемого по формуле, где p может быть любым действительным числом, кроме нуля. Случай p = −1 также называется гармоническим средним. Средневзвешенное значение pth-power определяется как
Если x является средним арифметическим x 1 и x 2, три числа x 1, x, x 2 находятся в арифметической прогрессии. Если h - среднее гармоническое x 1 и x 2, числа x 1, h, x 2 находятся в гармонической прогрессии. Число g, такое что x 1, g, x 2 находятся в геометрической прогрессии, определяется условием, что x 1 / g = g / x 2 или g 2 = x 1 x 2; следовательно
Это g называется средним геометрическим x 1 и x 2. Среднее геометрическое n чисел х 1, х 2,
x n определяется как n-й корень их произведения:
Все обсуждаемые средства являются частными случаями более общего среднего. Если f - функция, имеющая обратное значение f −1 (функция, которая «отменяет» исходную функцию), число
называется средним значением х 1, х 2,
, x n, связанный с f. Когда f (x) = x p, обратное значение равно f -1 (x) = x 1 / p, а среднее значение представляет собой среднее значение p-й степени, M p. Когда f (x) = ln x (натуральный логарифм), обратное значение равно f −1 (x) = e x (экспоненциальная функция), а среднее значение представляет собой среднее геометрическое.
Для получения информации о разработке различных определений среднего значения см. Вероятность и статистику. Для получения дополнительной технической информации см. Статистику и теорию вероятностей.
